Optimizasyon için Test Fonksiyonları

Matematiksel test fonksiyonları optimizasyon algoritmalarını test etmek için kullanılan matematiksel formüllerdir. Optimizasyon algoritmanızın çalışma performansını test etmeniz için gayet kullanışlıdır. Hem hız hem de bulunan çözüm performansı açısından testlerinizi gerçekleştirebilirsiniz. Optimizasyon algoritmalarında üzerinde değindiğim uygunluk formülü yani problemimizin matematik modeli olarak kullandığımız test amaçlı matematik modellerdir. Aşağıda bazı meşhur test fonksiyonlarını matematiksel formülleri, en iyi çözüm değerleri, arama aralıkları ve çözüm grafiklerini verilmiştir.

Test Fonksiyonları Tekli Nesnesel Optimizasyon
Adı	Formül	En Küçük Nokta	Arama Aralığı	Grafik
Rastrigin		f(0,0) = 0	-5,12 ≤ x,y ≤ 5.12
Sphere		f(0,…,0) = 0	-∞ ≤ xi ≤ ∞, 1 ≤ i ≤ n
Rosenbrock		f(1,…,1) = 0	-∞ ≤ xi ≤ ∞, 1 ≤ i ≤ n
Griewank		f(0,…,0) = 0	-600 ≤ xi ≤ 600, 1 ≤ i ≤ n

 

Bildiğiniz üzere sezgisel arama algoritmaları matematik modelde en büyük veya en küçük değeri bulmaya çalışırlar. Yukarıdaki fonksiyonlarda en küçük noktalar belirtilmiş. Yani biz arama algoritmalarımızda bu fonksiyonlarda bu değerlere ulaşmayı hedefliyoruz. Algoritmanın bu en küçük değere ulaşma yakınlığı ve geçen süre algoritmanın çalışma performansı hakkında fikir sahibi olmamıza yarar. Yukarıdaki formülleri yorumlamak için daha kolay anlaşılabilir Sphere Test Fonksiyonundan örnek verelim.  

Formül: 

Parametre sayısı: 1 ≤ i ≤ n è n = 4 olsun x_1, x_2, x_3, x₄

f(0,…,0) = 0 è yani x₁ = 0, x₂ = 0, x₃ = 0, x₄ = 0 için f(x_1, x_2, x_3, x₄) = 0

Yukarıdaki durumu formülde deneyelim:

f(x) = = x₁² + x₂² + x₃² + x₄² = 0 + 0 + 0 + 0 = 0

görüldüğü gibi tüm parametre değerlerine sıfır değeri verdiğimizde 0 değerini bulduk. Bu fonksiyonumuzda en küçük nokta. Eğer x parametrelerine daha farklı değerler verdiğimizde 0’dan uzaklaşacağımızı matematiksel olarak görebilirsiniz.

Aralık: -∞ ≤ x_i ≤ ∞ è  -5.12 ≤ x_i ≤ 5.12

Sezgisel arama algoritmalarımızın daha iyi sonuçlar vermesi için parametrelerin en küçük ve en büyük değer aralıklarını belirlemek yararlı olacaktır. Bu yüzden örnek aralık -5.12 ve 5.12 değerlerini verdik. 4 parametre değeri için yeni bir örnek yapalım:

x₁ = 1.0, x₂ = 2.0, x₃ = -1.0, x₄ = -3.0 olsun è  = x₁² + x₂² + x₃² + x₄² = 1 + 4 + 1 + 9 = 15

Grafik:

Sonuç olarak 2 parametreli Sphere fonksiyonu için aşağıdaki grafik oluşur. Parametreler 0’yaklaştıkça sonuçta 0’a yaklaşır, 0’dan uzaklaştıkça pozitif 0’dan büyük değer bulunur.

 

 

 

 

Diğer örnek test fonksiyonlarını zaman buldukça eklemeyi düşünüyorum bazılarının isimleri:

Ackley
Beale
Bohachevsky 
Booth 
Branin 
Colville 
Dixon & Price
Easom 
Goldstein–Price 
Hartmann
Hump
Levy
Matyas
Michalewicz
Perm
Powell
Power Sum
Schwefel
Shekel
Shubert
Sum Squares
Trid
Zakharov